분산(Variance)은 데이터가 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 통계적 지표이다. 분산은 표준 편차의 제곱과 동일하며, 확률 이론과 통계학에서 데이터의 변동성을 측정하는 데 사용된다.

정의

분산은 각 데이터 값과 평균 간의 편차를 제곱하여 평균을 구한 값이다.

• 모집단 분산(σ²)
  • σ² = (1/N) * Σ (X_i - μ)²

• 표본 분산(s²)
  • s² = (1/(n-1)) * Σ (X_i - x̄)²

여기서,

• X_i : 데이터의 각 값
• μ : 모집단의 평균
• x̄ : 표본의 평균
• N : 모집단 크기
• n : 표본 크기
• Σ : 합(sum) 연산

분산과 표준 편차의 차이

분산과 표준 편차는 모두 변동성을 측정하지만 다음과 같은 차이가 있다.

분산 계산 예제

다음 데이터 {3, 7, 7, 19, 21}의 분산을 계산한다.

• 평균(μ) = (3 + 7 + 7 + 19 + 21) / 5 = 11.4
• 각 값의 편차 = (-8.4, -4.4, -4.4, 7.6, 9.6)
• 제곱한 값 = (70.56, 19.36, 19.36, 57.76, 92.16)
• 모집단 분산(σ²) = (70.56 + 19.36 + 19.36 + 57.76 + 92.16) / 5 = 51.84
• 표본 분산(s²) = (70.56 + 19.36 + 19.36 + 57.76 + 92.16) / 4 = 64.8

분산의 성질

• 항상 0 이상이다.
• 값이 평균에서 멀리 퍼져 있을수록 분산이 증가한다.
• 변동성이 크면 분산도 증가한다.
• 표준 편차의 제곱과 동일하다.

분산의 활용

• 확률론
  • 확률변수의 분포를 분석하는 데 사용된다.

• 통계 분석
  • 실험 결과의 변동성을 평가하는 데 활용된다.

• 리스크 평가
  • 금융 및 투자에서 자산의 변동성을 측정하는 데 이용된다.

같이 보기

• 표준 편차
• 평균
• 정규 분포
• 분산 분석 (ANOVA)

참고 문헌

• Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2014). Applied Statistics and Probability for Engineers.
• Wikipedia - Variance