선형 대수(Linear Algebra)는 벡터, 행렬, 선형 변환 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 선형 대수는 공학, 물리학, 컴퓨터 과학, 경제학 등 다양한 분야에서 활용된다.
개요
선형 대수는 벡터 공간(Vector Space)과 선형 변환(Linear Transformation)을 중심으로 연구되며, 다음과 같은 주요 개념을 포함한다.
- 벡터(Vector) – 크기와 방향을 가지는 수학적 객체.
- 행렬(Matrix) – 선형 변환을 표현하는 배열.
- 선형 변환(Linear Transformation) – 벡터 공간의 구조를 보존하는 함수.
- 선형 결합(Linear Combination) – 벡터들의 가중합.
- 기저(Basis) – 벡터 공간을 생성하는 선형 독립인 벡터 집합.
- 행렬식(Determinant) – 정사각 행렬의 특징을 나타내는 값.
- 고유값과 고유벡터(Eigenvalues and Eigenvectors) – 선형 변환의 주요 특성을 나타내는 개념.
벡터와 벡터 공간
벡터 공간(Vector Space)은 벡터들의 집합으로, 다음 두 연산이 정의된다.
- 벡터 덧셈 – 두 벡터를 더하여 새로운 벡터를 생성.
- 스칼라 곱셈 – 벡터에 스칼라(실수 또는 복소수)를 곱하는 연산.
벡터 공간은 특정한 기저(Basis)에 의해 표현되며, 벡터의 차원은 기저 벡터의 개수와 같다.
행렬과 행렬 연산
행렬(Matrix)은 수를 직사각형 배열로 정리한 것으로, 선형 변환을 표현하는 데 사용된다.
- 행렬 덧셈 – 같은 크기의 행렬끼리 원소별 덧셈.
- 행렬 곱셈 – 두 행렬을 곱하여 새로운 행렬을 생성.
- 전치 행렬(Transpose) – 행과 열을 바꾼 행렬.
- 역행렬(Inverse) – A의 역행렬 A-1은 A A-1 = I를 만족.
선형 변환
선형 변환(Linear Transformation)은 벡터 공간 간의 함수로, 다음 두 조건을 만족한다.
- T(a + b) = T(a) + T(b) (가법성)
- T(ca) = cT(a) (동일한 스칼라 곱셈 유지)
선형 변환은 행렬로 표현되며, 고유값과 고유벡터를 이용하여 분석할 수 있다.
선형 대수의 응용
선형 대수는 다양한 분야에서 활용된다.
- 컴퓨터 그래픽스 – 3D 변환, 회전, 스케일링.
- 데이터 과학 및 머신 러닝 – 차원 축소(PCA), 회귀 분석.
- 물리학 및 공학 – 양자역학, 구조해석.
- 경제학 및 최적화 – 게임 이론, 선형 계획법.
같이 보기
참고 문헌
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
- Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right. Springer.