선형 방정식(Linear Equation)은 변수들이 일차적으로 결합된 형태로 이루어진 방정식이다. 선형 방정식은 선형 대수학에서 중요한 개념이며, 수학, 공학, 경제학, 데이터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.
정의
선형 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
- 일변수 선형 방정식
- ax + b = 0
- 이변수 선형 방정식
- ax + by = c
- n개의 변수를 포함하는 일반적인 형태
- a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
여기서,
- x1, x2, ..., xn은 변수
- a1, a2, ..., an은 계수(coefficient)
- b는 상수(term)
선형 방정식의 해법
일변수 선형 방정식
- 방정식: ax + b = 0
- 해: x = -b/a (단, a ≠ 0)
이변수 선형 방정식
- 방정식: ax + by = c
- 해: 무수히 많거나 하나의 해를 가짐 (직선의 교점으로 해석 가능)
연립 선형 방정식
n개의 선형 방정식으로 이루어진 연립 방정식은 행렬을 사용하여 해를 구할 수 있다.
연립 선형 방정식의 행렬 표현
| 계수 행렬 A | 미지수 벡터 x | 상수 벡터 b |
|---|---|---|
| ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ | ⎡ x1 ⎤ | ⎡ b1 ⎤ |
| ⎢ a21 a22 ... a2n ⎥ | ⎢ x2 ⎥ | ⎢ b2 ⎥ |
| ⎢ ... ... ... ... ⎥ | ⎢ ... ⎥ | ⎢ ... ⎥ |
| ⎣ an1 an2 ... ann ⎦ | ⎣ xn ⎦ | ⎣ bn ⎦ |
이를 행렬 방정식으로 표현하면:
- Ax = b
여기서,
- A는 계수 행렬
- x는 미지수 벡터
- b는 상수 벡터
연립 선형 방정식의 해법
선형 방정식은 여러 가지 방법으로 해결할 수 있다.
- 가우스 소거법(Gaussian Elimination)
- 연립 방정식을 행 연산을 통해 삼각 행렬 형태로 변환하여 푸는 방법
- 역행렬(Inverse Matrix)
- x = A-1b 형태로 해를 구하는 방법 (A가 가역 행렬일 경우)
- 크래머의 법칙(Cramer's Rule)
- 행렬식을 이용하여 해를 구하는 방법 (정방 행렬일 경우)
- LU 분해(LU Decomposition)
- 행렬을 두 개의 삼각 행렬로 분해하여 해를 구하는 방법
선형 방정식의 응용
- 공학 및 물리학
- 역학 시스템, 회로 해석
- 경제학 및 최적화
- 수요와 공급 분석, 선형 계획법
- 컴퓨터 과학
- 그래픽스, 머신 러닝에서의 행렬 연산
- 데이터 분석
- 통계 및 회귀 분석
같이 보기
참고 문헌
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
- Lay, D. C. (2012). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.