이항 정리(Binomial Theorem)는 두 항으로 이루어진 다항식 (a + b)n을 전개하는 방법을 설명하는 정리이다. 이는 조합론과 깊은 관련이 있으며, 조합 수를 활용하여 각 항의 계수를 계산할 수 있다.
개요
이항 정리는 다항식의 거듭제곱을 전개할 때 사용되며, 확률론, 조합론, 수리 통계학 등 여러 분야에서 활용된다.
이항 정리는 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.
- (a + b)n = Σ C(n, r) an-r br (0 ≤ r ≤ n)
여기서,
- C(n, r) = nCr = n! / (r!(n - r)!) (이항 계수, 조합 수)
- a와 b는 항의 변수
- n은 지수(거듭제곱)
- r은 선택된 항의 지수
이 공식은 (a + b)를 n번 곱할 때 각 항이 어떻게 구성되는지를 보여준다.
이항 정리의 예제
간단한 전개 예제
1. (a + b)2 전개:
(a + b)2 = C(2,0) a2 b0 + C(2,1) a1 b1 + C(2,2) a0 b2 = 1a2 + 2ab + 1b2 = a2 + 2ab + b2
2. (a + b)3 전개:
(a + b)3 = C(3,0) a3 b0 + C(3,1) a2 b1 + C(3,2) a1 b2 + C(3,3) a0 b3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3. (x + y)4 전개:
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
이항 계수와 파스칼의 삼각형
이항 계수 C(n, r)은 파스칼의 삼각형(Pascal’s Triangle)과 직접적으로 연관된다. 파스칼의 삼각형에서 각 행의 값은 이항 계수를 나타낸다.
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
이항 정리에서 계수는 위의 삼각형에서 해당하는 값을 따른다. 예를 들어, (a + b)5를 전개하면 계수는 1, 5, 10, 10, 5, 1이 된다.
이항 정리의 확장
이항 정리는 확률과 통계, 알고리즘 분석 등 다양한 수학적 응용에서 사용되며, 다음과 같이 확장될 수 있다.
다항 정리 (Multinomial Theorem)
이항 정리를 여러 개의 항에 적용하면 다항 정리(Multinomial Theorem)로 확장된다.
- (x₁ + x₂ + ... + xₘ)n = Σ C(n; k₁, k₂, ..., kₘ) x₁k₁ x₂k₂ ... xₘkₘ
- 여기서 k₁ + k₂ + ... + kₘ = n
음이항 정리 (Negative Binomial Theorem)
이항 정리는 정수 지수뿐만 아니라 실수 지수로도 확장할 수 있으며, 이는 무한급수로 표현된다.
- (1 + x)k = Σ C(k, r) xr (r ≥ 0, |x| < 1)
이항 정리의 응용
이항 정리는 다양한 분야에서 활용된다.
- 확률과 통계 - 이항 분포(Binomial Distribution)와 확률 계산
- 알고리즘 분석 - 조합 계산 및 재귀적 문제 해결
- 이산 수학 - 수열과 다항 전개 문제 해결
- 물리학 - 양자역학과 파동 방정식에서의 다항식 전개