선형 변환(英: linear transformation, 漢: 線形變換)은 벡터 공간 V에서 또 다른 벡터 공간 W로의 함수 T:V→W로서, 덧셈과 스칼라 곱이라는 벡터 공간의 구조를 보존하는 변환이다.
정의
벡터 공간 V와 W가 동일한 스칼라 체(예: 실수, 복소수) 위에 있을 때, 함수 T:V→W가 다음 두 조건을 만족하면 이를 선형 변환이라 한다.
- 모든 벡터 u, v ∈ V에 대해 T(u + v) = T(u) + T(v)
- 모든 스칼라 c와 벡터 v ∈ V에 대해 T(cv) = cT(v)
이 두 조건으로부터 T(0) = 0이 성립하며, 일반적으로
T(c₁v₁ + c₂v₂ + ⋯ + cₙvₙ) = c₁T(v₁) + c₂T(v₂) + ⋯ + cₙT(vₙ)
이 된다.
예시
- T: ℝ² → ℝ² 정의 T(x, y) = (2x, y)는 선형 변환이다.
- S(x, y) = (2x + 1, y)는 상수항이 존재하므로 선형 변환이 아니다.
- D: ℝ[x] → ℝ[x] 정의 D(p) = p′ (미분 연산자)는 선형 변환이다.
행렬 표현
유한 차원 벡터 공간의 경우, 모든 선형 변환은 행렬 곱셈으로 표현할 수 있다. 즉, 기저가 주어졌을 때 어떤 m×n 행렬 A가 존재하여
T(v) = A v
로 나타낼 수 있다. 이를 통해 선형 변환의 합성, 역변환, 커널(영공간), 상(이미지) 등을 행렬의 성질로 분석할 수 있다.
성질
- 덧셈 보존성: T(u + v) = T(u) + T(v)
- 스칼라 곱 보존성: T(cv) = cT(v)
- T(0) = 0
- 행렬 표현이 가능하다.
- 커널과 상은 각각 벡터 부분공간이다.
기하학적 해석
선형 변환은 원점을 지나는 직선, 평면 등의 구조를 보존한다. 기하학적으로는 회전, 반사, 전단(shear), 확대/축소 등의 변환을 포함한다.
관련 개념
- 아핀 변환: 선형 변환에 상수항을 더한 형태
- 선형 연산자: 같은 공간에서 정의된 선형 변환
- 선형 함수: 벡터 공간에서 스칼라로 가는 선형 변환
- 커널 (선형대수학)
- 이미지 (선형대수학)