닫힘(closure, 閉合)은 어떤 연산에 대해 집합의 원소들끼리 연산을 수행했을 때, 그 결과가 항상 같은 집합에 속하는 성질을 의미한다.
정의
수학에서 집합 S와 이항 연산 *가 주어졌을 때, 임의의 a, b ∈ S에 대해 a * b 또한 S에 속하면, 집합 S는 연산 *에 대해 닫혀 있다고 한다. 이 성질을 닫힘 성질(closure property)이라 한다.
예시
- 정수의 덧셈: 정수 집합 ℤ는 덧셈 연산에 대해 닫혀 있다. 즉, 임의의 정수 a, b에 대해 a + b 역시 정수이다.
- 유리수의 곱셈: 유리수 집합 ℚ는 곱셈에 대해 닫혀 있다. 두 유리수의 곱은 항상 유리수이다.
- 실수의 뺄셈: 실수 집합 ℝ은 뺄셈에 대해 닫혀 있다. 임의의 실수 a, b에 대해 a - b 역시 실수이다.
- 자연수의 나눗셈: 자연수 집합 ℕ은 일반적인 나눗셈에 대해 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 1 ÷ 2 = 0.5는 자연수가 아니다.
성질
- 닫힘은 대수 구조(algebraic structure) 정의의 기본적인 요건이다.
- 닫힘 성질은 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 구조에서 가장 먼저 요구되는 조건 중 하나이다.
- 집합이 연산에 대해 닫혀 있지 않으면, 그 연산은 해당 집합 내에서 잘 정의되었다고 볼 수 없다.
관련 개념
- 닫힘 연산(closure operation): 주어진 집합에 대해 어떤 조건을 만족하도록 가장 작은 닫힌 집합을 구성하는 연산
- 닫힌 집합(closed set): 위상수학(topology)에서 경계를 포함하는 집합을 가리키며, 대수적 닫힘과는 다른 개념이다.
- 닫힘 성질은 대수학 외에도 오토마타 이론, 논리학, 위상수학 등 다양한 분야에서 사용된다.
같이 보기
참고 문헌
- Grillet, P.A. (2007). *Abstract Algebra*. Springer.
- Gallian, J.A. (2016). *Contemporary Abstract Algebra*. Cengage Learning.