미분(微分, 영어: differentiation)은 함수의 순간 변화율을 구하는 연산 또는 과정이다. 주어진 함수의 입력값이 변할 때 출력값이 어떻게 변하는지를 분석하는 방법으로, 그 결과로 얻어지는 함수는 도함수(derivative)라 한다.
개요
미분은 함수의 극한 개념을 기반으로 하며, 곡선의 접선의 기울기를 계산하는 수학적 도구이다. 이는 물리학에서 속도와 가속도를 정의하는 데 사용되며, 공학, 경제학, 생명과학 등 다양한 분야에 응용된다.
정의
함수 f(x)에 대한 미분은 다음 극한으로 정의된다.
- f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
이때 f'(x)를 함수 f(x)의 도함수라고 하며, 미분 연산의 결과이다.
표기법
미분은 여러 가지 기호로 표현된다.
- 라이프니츠 표기법: dy/dx
- 라그랑주 표기법: f'(x)
- 뉴턴 표기법: ẋ (특히 시간에 대한 미분에서 사용)
기본 공식
미분에는 여러 기본 공식과 성질이 존재한다.
- (c)' = 0 (상수 함수의 미분)
- (x)' = 1 (항등 함수의 미분)
- (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ (거듭제곱 함수의 미분)
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (e^x)' = e^x
미분 법칙
- 합의 법칙: (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)
- 곱의 법칙: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
- 몫의 법칙: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))²
- 연쇄 법칙: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)
응용
미분은 다양한 학문 분야에서 활용된다.
- 물리학: 속도, 가속도, 전류 변화율 계산
- 경제학: 한계 비용, 한계 수익 분석
- 공학: 제어 이론, 신호 처리, 최적화 문제 해결
- 수학: 함수의 증가·감소 구간, 극대·극소, 곡선의 오목·볼록 판별