편미분(偏微分, 영어: partial differentiation)은 다변수 함수에서 한 변수만을 독립적으로 변화시켜 구하는 미분이다. 즉, 다른 변수들은 고정한 채 특정 변수에 대해서만 변화율을 계산하는 과정이다.
개요
단변수 함수의 경우 미분은 입력이 변할 때 출력이 변하는 순간 변화율을 구한다. 반면, 다변수 함수에서는 여러 독립 변수가 존재하므로 전체 변화율을 각각의 변수에 대해 따로 계산할 수 있다. 이때 사용되는 것이 편미분이다.
정의
다변수 함수 f(x₁, x₂, …, xₙ)에 대해, 변수 xᵢ에 대한 편미분은 다음과 같이 정의된다.
- ∂f/∂xᵢ = lim (h→0) [f(x₁, …, xᵢ+h, …, xₙ) - f(x₁, …, xᵢ, …, xₙ)] / h
이때 ∂ 기호는 편미분을 나타낸다.
표기법
편미분은 다음과 같이 여러 방식으로 표현된다.
- ∂f/∂x, ∂f/∂y
- fₓ, fᵧ
- Dₓf, Dᵧf
성질
- 다변수 함수 f(x,y)가 충분히 매끄럽다면, 혼합 편미분이 성립한다. 즉,
∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x
- 편미분은 선형 연산을 따른다.
- 단변수 함수의 미분은 편미분의 특수한 경우라 볼 수 있다.
예시
- f(x,y)=x²y+3y라 하면,
∂f/∂x = 2xy ∂f/∂y = x²+3
응용
편미분은 다변수 함수의 해석과 최적화 문제, 물리학, 공학 등에서 중요한 역할을 한다.
- 물리학: 열역학, 유체역학, 양자역학 등에서 다변수 상태 함수의 변화율 계산
- 경제학: 다변수 생산 함수, 효용 함수의 한계 효과 분석
- 최적화 이론: 라그랑주 승수법에서 제약 조건이 있는 최적화 문제 해결에 활용